Samozřejmě nikdo netvrdí, že je třeba umět násobit nebo dělit z hlavy několikamístné cifry, nebo aspoň ne naprosto přesně. FOTO: Unsplash
Tak schválně. Spočítáte zpaměti, kolik je 2x732x5? Dokážete bez dlouhého přemýšlení určit, jaké rozměry má čtvercový pozemek o ploše 700 metrů čtverečných? Možná jste to zvládli rychle, ale možná vám to dalo trochu zabrat. Je vůbec tzv. pamětné počítání v dnešní době mobilů s kalkulačkami ještě k něčemu dobré, nebo je to dovednost vhodná pouze do AZ kvízu?
Na prvním stupni základní školy se zpaměti naučíme počítat všichni – sice ne velká čísla, ale stejně minimálně do třetí třídy louskáme jednotky, desítky i stovky pěkně z hlavy. Potom přijde počítání pod sebou, které nám to usnadní, a najednou zvládneme počítat klidně s miliony. No a na druhém stupni a střední škole veškeré počty opanují kalkulačky. Většina dospělých se pak už s počítáním zpaměti vůbec neobtěžuje, a buď hned všechno vyřeší na papíře, nebo rovnou vytáhne mobil a během chvilky zná řešení.
„Podle mě má dovednost počítání zpaměti určitě smysl, už jen jako jakási brána do vyšší matematiky,“ říká učitel a vítěz ceny Global Teacher Prize ČR z roku 2019 Tomáš Chrobák, který učí děti na Základní škole Baška v Moravskoslezském kraji matematiku metodou podle Hejného. „Jakmile se dostanete na mocniny, Pythagorovu větu, zlomky a operace s nimi, musíte už prostě znát násobilku. Pokud nezvládáte jednoduché operace, například druhou mocninu pěti počítáte tak, že postupně pětkrát přičtete pětku, tak se strašně rychle unavíte a nemáte vůbec šanci zvládnout složitější úkoly.“
Souhlasí s ním i jeho učitelský kolega Pavel Bobek, který učí matematiku na Základní škole Solidarita v Praze: „V poslední době je hodně moderní říkat, že si všechno snadno vygooglujeme. Jenže musíme aspoň něco vědět, abychom vůbec dokázali správně hledat. To, co máme v paměti, nám pomáhá myslet, jinak řečeno myslíme s tím, co víme. Nemůžeme všechno stále jen vyhledávat a ani vlastně všechno pořád objevovat, protože bychom se nikdy nedostali k žádným složitějším, komplexnějším úlohám.“
Neurovědci mají pamětné počítání rádi
I matematik Oldřich Botlík vidí v pamětném počítání jednu důležitou dimenzi a tou je cvičení mozku. „Když počítám zpaměti, musím v hlavě udržet čísla, různé mezivýsledky a to je pro vývoj mozku skvělé. Pokud namísto svého mozku použijeme nějakou pomůcku, jak trénink nahradíme?“ Oldřich Botlík patří ke generaci, která se ještě učila počítat s pomocí logaritmického pravítka a tabulek, což byla mentálně dost náročná činnost a jenom její nácvik zabral čtvrt roku. „Pak přišly kalkulačky a na středních školách už jim nebylo možné odolat, protože s jejich pomocí šly příklady vypočítat mnohem rychleji a s nižší mírou chybovosti, to vidí každý. Jenže jsme tím přišli o příležitost k posilování mozku, kterou jsme nijak nenahradili. Tak to s využíváním pomůcek je.“
Čtěte také Rozbíjím děckám mentální šuplíčky, říká matematikář. Pomáhá jim nahnat body při přijímačkách
S argumenty na podporu pamětného počítání přichází i neurověda v podobě teorie kognitivního zatížení. Ta v podstatě říká, že paměť se dělí na dlouhodobou, která má prakticky nekonečnou kapacitu, a pracovní, která má naopak kapacitu vlastně dost malou, v řádu několika položek v jednu chvíli. Do dlouhodobé paměti si ukládáme schémata, která nám pomáhají zpracovávat různé úkoly – například matematické definice a způsoby řešení úloh. „Krátkodobá paměť dokáže pracovat s jedním svazkem informací najednou,“ říká odborník na efektivní učení Jan Kohut. „Pokud mám řešit nějaké složitější věci, potřebuju si v ní ušetřit místo, jinak zkolabuje jako dříve přetížené počítače. Potřebuji mít základní věci, jako je násobilka nebo sčítání a odčítání, pevně uložené v dlouhodobé paměti a nezatěžovat jimi tu krátkodobou.“ Složitější počty jako derivace nebo integrály, tvrdí Jan Kohut, není možné spočítat bez dokonalé znalosti běžných početních operací.
Nikoli hádat, ale odhadovat
Samozřejmě nikdo netvrdí, že je třeba umět násobit nebo dělit z hlavy několikamístné cifry, nebo aspoň ne naprosto přesně. Velmi důležitou dovedností je totiž odhadování výsledku. Mnohým lidem (a nejen dětem na základní škole, i když těm především) se totiž stává, že úlohy vycházející z praktického života počítají mechanicky, bez jakéhokoliv přemýšlení. Potom jim ale někdy vyjdou naprosto nesmyslné výsledky, a oni se nad nimi ani nepozastaví.
„Jednou jsme dětem do testu dali fotku hejna tučňáků, které mělo víceméně čtvercový tvar, a ony měly za úkol odhadnout, kolik jich tam asi je,“ vypráví Oldřich Botlík, který stál za srovnávacími testy KALIBRO. Výzkumníci očekávali, že si děti rozdělí útvar na pravidelnou síť například 3×3 čtverce, spočítají tučňáky v jednom čtverci a pak číslo vynásobí devíti. „Dokonce jsme jim dali na vybranou z variant, které se lišily o řády. Bohužel skoro nikdo zřejmě nepoužil náš zamýšlený postup, protože odpovědi byly různé, ale z velké části špatné. Z toho je vidět, že abstraktní svět čísel a číselných operací si s konkrétním světem okolo propojuje jen málokterý žák.“
Čtěte také Z Hejného si berou logiku, z klasiky dril. Jak školy učí matiku, když dětem nejde násobilka
„Odhadování v českých učebnicích moc nevidím, zato v britských je mu věnováno dost prostoru. Je to totiž pro život praktická a využitelná dovednost,“ říká učitel matematiky Pavel Bobek, který dříve působil na škole ve Velké Británii. Když jde člověk do obchodu koupit deset různých věcí, nemusí spočítat do haléře přesně, kolik ho to bude stát, je ale dobré aspoň přibližně tušit, jestli mám k dispozici dost peněz. Stejně tak potřebujeme odhadnout, jak dlouho nám bude trvat cesta na nějaké místo, kam potřebujeme dorazit v určitý čas.
„Učit se odhadovat výsledky – nechci říct hádat, ale opravdu odhadovat – se žáci musejí učit průběžně. Pokud na tom ale společně s učitelem pracují, osvojí si důležité návyky. Naučí se dívat na svoje výpočty a ptát se: dává ten výsledek smysl? Může to být správně? Nemělo by se jim potom stávat, že se spletou klidně o řád. A mnohdy přibližný výsledek úplně stačí,“ zdůrazňuje Pavel Bobek.
Stačí ke zvládnutí pamětného počítání, když se žáci naučí jako básničku „dva, čtyři, šest, osm, deset“ a tak dál? Podle učitelů matematiky právě tato cesta k cíli nevede. Učitel Tomáš Chrobák říká: „Je hrozná chyba, že se děti naučí násobilku jako básničku, ale neporozumí tomu, co se s čísly děje. Vědí, že 5×5 je 25, ale už si nepředstaví, že je to pět skupin po pěti prvcích. Za mě vůbec není nutné, aby ve druhé třídě věděli zpaměti, že šest krát čtyři je 24, ale musejí si být schopní dovodit, že to je pětkrát čtyři a jedna čtyřka k tomu.“ Ve škole se Tomáš Chrobák snaží dětem nabízet zajímavé úlohy, ale nevadí mu, ani když si děti počítání procvičují i s různými online aplikacemi.
Čtěte také Konec lelkování. Současná škola chce, aby v hodině nikdo nespal
Pomůžou aplikace i praktické finty
Mezi propagátory pamětného počítání patří programátor Dušan Janovský. „Už jako malý kluk jsem pochytával počítání od sester, ve čtyřech letech jsem násobil, a protože nade mnou všichni žasli, dělalo mi to dobře a počítal jsem dál,“ vypráví o svých počtářských začátcích Janovský, který nakonec vystudoval Matematicko-fyzikální fakultu Univerzity Karlovy. „Když jsem večer nemohl usnout, dělil a násobil jsem z hlavy, postupně jsem se naučil i odmocňovat. S trochou tréninku to není tak náročné.“
Svoje tipy na naučení pamětného počítání shrnul programátor Dušan Janovský na své webové stránce. Některé jsou určené spíše matematickým fajnšmekrům, jako je třeba využití synestezie, kdy vjemům přiřazujeme myšlenkové asociace z jiných smyslů (například si spojuje jednotlivé cifry s různými barvami). Pomoci může i převádění dělení na násobení s pomocí převrácených hodnot či počítání s rozdílem čtverců. Další jsou ale snadno pochopitelné, a tím použitelné pro každého.
Počítání pod sebou je v podstatě model, který neurovědci označují jako black box neboli černá krabička. Zadáte vstupy, uvnitř černé krabičky se s nimi něco děje a nakonec z ní vypadne výsledek. Je to ale úplně mechanické, málokdo chápe, co se během operace s čísly děje.
Zejména to platí o odhadování. „Základní finta spočívá v tom, že málokdy potřebuji výsledek znát přesně. Většinou mi stačí jedna nebo dvě platné číslice. 67 × 46 = 3082, ale mně většinou stačí vědět, že je to asi 3100, úplně to stačí,“ říká Janovský. Stejně tak je podle něj možné naučit se s vysokou mírou přesnosti sčítat pod sebou – je ale potřeba opustit zažitý školní postup, kdy se sčítá odzadu, a začít odpředu, od nejvyššího řádu. „Je to jen o trochu těžší, protože pak občas musím zpětně zvednout nějakou již vypočtenou číslici (to ve školním postupu není nutné, právě proto se používá). Opět mi stačí vypočítat jenom první dvě tři číslice,“ vysvětluje programátor. Komutativnosti některých operací, jako je sčítání nebo násobení, se také dá využít k tomu, aby se některé na první pohled složité příklady daly vyřešit z hlavy. Stačí zamíchat číslicemi. „14 + 28 + 9 + 16 + 52 je mnohem složitější než 14 + 16 + 28 + 52 + 9, což je zjednodušeně 30 + 80 + 9,“ objasňuje Dušan Janovský.
Tipy na aplikace Pro zvládnutí pamětného počítání, zejména pro počtáře od druhého stupně výš, je určena webová aplikace Numericum, kterou vyvinul tým českých vývojářů a je možné ji využívat zdarma. K dispozici jsou moduly pro různé početní operace v různých stupních obtížnosti. Každý uživatel napřed projde jednoduchým testováním, jež mu nastaví na míru obtížnost cvičení, a aplikace nabízí i přehledné návody a tipy na to, jak si dovednosti osvojit. Odborníci doporučují o online aplikace jako je UmimeMatiku.cz nebo Vcelka.cz.
Sčítání pod sebou jako čirá magie
Cesta k pamětnému počítání vede přes trénink a přemýšlení o číslech, nikoli přes automatické bezmyšlenkovité počítání, například oblíbené sčítání, odčítání, násobení a dělení pod sebou. „Počítání pod sebou je v podstatě model, který neurovědci označují jako black box neboli černá krabička. Zadáte vstupy, uvnitř černé krabičky se s nimi něco děje a nakonec z ní vypadne výsledek. Je to ale úplně mechanické, málokdo chápe, co se během operace s čísly děje,“ vysvětluje programátor Janovský. A souhlasí s ním i matematik Oldřich Botlík. „Pro většinu lidí je to čirá magie,“ směje se. „Navíc jakmile se děti jednou naučí počítat pod sebou, už by tak nejraději počítaly i 14 – 5,“ trochu se zlobí i Pavel Bobek z Prahy. „K tomu jim ale přece stačí chápat, že pětku si můžu rozdělit na 4 + 1. Ve škole bychom měli klást důraz na pochopení vztahů mezi čísly a podobné pomůcky, jako počítání pod sebou nebo rovnou kalkulačky, zavádět co nejpozději.“
Podle Tomáše Chrobáka v tomto pomáhá matematika metodou Hejného. Děti se díky ní učí přemýšlet, odhadovat, hledat chyby a diskutovat o nich. „Žáci si tak v hlavách utvářejí majákové spoje a postupem času se násobilku i další operace naučí,“ říká učitel a dodává: „Navíc to pro ně nebude jen nějaká básnička, ale skutečně vědomá práce. Věřím, že nejpozději na konci prvního stupně se všechno potřebné skutečně naučí a pochopí. Jen se na ně nesmí moc spěchat a nutit je do mechanického počítání příliš brzy.“
Text vyšel v Akademii Lidových novin.
DOPORUČENÉ ČLÁNKY
21. 08. 2022 Bára Procházková Pět věcí, které budou v novém školním roce jinak
28. 02. 2023 Lucie Rybová Život celé rodiny se zúžil na domácí úkoly, podle právníků jsou navíc nezákonné
